Metrinen tensori eli perustensori on avaruutta kuvaava symmetrinen[1] tensori, joka kertoo kuinka etäisyydet kyseisessä avaruudessa tulee mitata.[2] Se on siis avaruuden metriikan esitys. Jos avaruuden metrinen tensori tunnetaan, tunnetaan koko avaruuden geometria. Metrisellä tensorilla on aina kaksi indeksiä, mistä syystä se voidaan esittää matriisimuodossa.
Mielivaltaisessa avaruudessa etäisyys kahden pisteen ja välillä saadaan käyränpituuden kaavasta
missä on käytetty Einsteinin summaussääntöä. Käyränpituuden kaavassa esiintyvät kertoimet ovat avaruuden metrisen tensorin komponentit. Metrinen tensori on symmetrinen, eli
Jos metriikka antaa mille tahansa kahdelle pisteelle aina etäisyyden, joka on positiivinen (tai nolla), metriikan sanotaan olevan positiividefiniitti ja tällöin puhutaan Riemannin metriikasta. Jos etäisyys voi olla myös negatiivinen, kyseessä on pseudo-Riemannin metriikka. Jälkimmäisiä tulee vastaan esimerkiksi suhteellisuusteoriassa (ajanluonteiset pinnat).
Jos avaruuden koordinaatisto voidaan lausua karteesisten koordinaattien avulla, metrisen tensorin laskeminen on helppoa Jacobin matriisin avulla. Jos on koordinaatistomuunnosta vastaava Jacobin matriisi ja sen transpoosi, metrinen tensori
Metrisen tensorin avulla mikä tahansa differentiaalinen etäisyys voidaan Einsteinin summaussääntöä käyttäen kirjoittaa
Erityisesti jos tensorin kaikki nollasta eroavat komponentit ovat diagonaalilla, tämä on sama kuin
Tilanteessa, jossa on euklidinen metriikka (ks. esimerkit alla) tämä vastaa täsmälleen Pythagoraan lausetta, kuten tietysti pitääkin.
© MMXXIII Rich X Search. We shall prevail. All rights reserved. Rich X Search